Uno de los problemas más importantes del cálculo técnico es la solución de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas.
En notación matricial, el problema general se plasma de la siguiente manera: dadas dos matrices A y b, ¿existe una matriz única x de manera tal que Ax= b o xA= b?
Resulta didáctico considerar un ejemplo de 1 por 1. Por ejemplo, la ecuación
7x = 21
¿tiene una solución única?
Naturalmente, la respuesta es sí. La solución única de la ecuación es x = 3. La solución se obtiene fácilmente a través de la división:
x = 21/7 = 3.
La solución no se obtiene comúnmente mediante el cálculo de la inversa de 7, es decir 7-1= 0.142857..., y luego multiplicando 7-1 por 21. Este proceso sería más arduo, y si 7–1 se representa como un número finito de dígitos, también sería menos preciso. Pueden aplicarse consideraciones muy semejantes a los conjuntos de ecuaciones lineales con más de una incógnita. MATLAB® resuelve dichas ecuaciones sin calcular inversas de matrices.
Aunque no es una notación matemática estándar, MATLAB utiliza la terminología de la división, común en el caso de escalares, para describir la solución de un sistema general de ecuaciones simultáneas. Los dos símbolos de división, barra diagonal, /, y barra invertida, \, corresponden a las dos funciones mrdivide y mldivide de MATLAB. Estos operadores se utilizan para las dos situaciones en las que la matriz desconocida aparece a la izquierda o a la derecha de la matriz de coeficientes:
x = b/A
Indica la solución a la ecuación de matrices xA = b, que se obtiene usando mrdivide.
x = A\b
Indica la solución a la ecuación de matrices Ax = b, que se obtiene usando mldivide.
Considere “dividir” ambos lados de la ecuación, Ax = b o xA = b por A. La matriz de coeficientes A siempre está en el “denominador”.
Las condiciones de compatibilidad de dimensiones para x = A\b requieren que las matrices A y b tengan la misma cantidad de filas. Entonces, la solución x tiene la misma cantidad de columnas que b y su dimensión de filas es igual a la dimensión de columnas de A. Para x = b/A, los roles de las filas y las columnas se intercambian.
En la práctica, las ecuaciones lineales del tipo Ax = b se dan con mayor frecuencia que aquellas del tipo xA = b. En consecuencia, la barra invertida se usa con mucha mayor frecuencia que la barra diagonal. El resto de esta sección se concentra en el operador barra invertida; las propiedades correspondientes del operador barra diagonal se pueden inferir de la identidad:
(b/A)' = (A'\b').
No es necesario que la matriz de coeficientes A sea cuadrada. Si A tiene un tamaño de m por n, entonces, existen tres casos:
m = n
Sistema cuadrado. Busque una solución exacta.
m > n
Sistema sobredeterminado, con más ecuaciones que incógnitas. Encuentre una solución de mínimos cuadrados.
m < n
Sistema subdeterminado, con menos ecuaciones que incógnitas. Encuentre una solución básica con un máximo de m componentes distintos de cero.
El algoritmo de mldivide
El operador mldivide emplea diferentes mecanismos de solución para tratar distintos tipos de matrices de coeficientes. Los diversos casos se diagnostican de forma automática mediante el análisis de la matriz de coeficientes. Para obtener más información, consulte la sección “Algoritmos” de la página de referencia de mldivide.
Solución general
