por sustitucion
integrar (x+1)/(x-1)^2
por partes
integrar (x arc cos x dx)
integrar ln (x^2+1) .x + 1
∫ ----------dx
. (x - 1)²
Se hace la sustitución
u = x - 1
de donde
du = dx
y además
u + 1 = x
por lo tanto
u + 1 + 1 = x + 1
u + 2 = x + 1
y entonces la integral se convierte en
. u + 2 . . . . . u . . . . . 2 . . . . . du . . . . du
∫ --------dx = ∫ ----du + ∫ ----du = ∫ ---- + 2 ∫ ----
. . .u² . . . . . .u² . . . . . u² . . . . . u . . . . .u²
Esas 2 últimas integrales son inmediatas:
Ln| u | - (2 / u) + C
Y volviendo a expresar todo en términos de "x",
Ln| x - 1 | - [ 2 / (x - 1) ] + C
===============
∫ x arccos(x) dx
Hacemos
u = arccos(x)
de donde
du = -dx / √(1 - x²)
y a la vez hacemos
dv = x dx
de donde
v = (x² / 2)
Entonces
∫ x arccos(x) dx = uv - ∫v du
∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) - ∫ [ (-x² dx) / 2√(1 - x²) ]
∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) + ½ ∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx . . . (*)
Para resolver la última integral se puede realizar la sustitución
x = sen(t)
de donde
dx = cos(t)dt
y además
t = arcsen(x)
∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ { sen²(t)cos(t) / √[ 1 - sen²(t) ] } dt
∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ [ sen²(t)cos(t) / √cos²(t) ] dt
∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ [ sen²(t)cos(t) / cos(t) ] dt
∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ sen²(t)dt
∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ ½[ 1 - cos(2t) ]dt
∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ½ ∫ [ 1 - cos(2t) ]dt
∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ½ [ ∫ dt - ∫ cos(2t)dt ]
∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ½ [ t - ½ sen(2t) ]
sustituyendo "t" por su valor equivalente de "x" resulta:
∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ½ { arcsen(x) - ½ sen[ 2arcsen(x) ] }
Para terminar regresando a (*):
∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) + ½ ( ½ { arcsen(x) - ½ sen[ 2arcsen(x) ] } ) + C
∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) + ½ { ½ arcsen(x) - ¼ sen[ 2arcsen(x) ] } + C
∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) + ¼ arcsen(x) - (1/8) sen[ 2arcsen(x) ] + C
=========
∫ Ln(x² + 1)dx
Se hace
u = Ln(x² + 1)
de donde
du = (2x dx) / (x² + 1)
Se hace a la vez
dv = dx
de donde
v = x
∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - ∫ [ (x2x dx) / (x² + 1) ]
∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - ∫ [ (2x² dx) / (x² + 1) ]
∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - 2 ∫ [ (x² dx) / (x² + 1) ] . . . . (*)
Resolvemos la última integral. Se realiza la división de los polinomios:
∫ [ x² / (x² + 1) ]dx = ∫ { 1 - [ 1 / (x² + 1) ] }dx
∫ [ x² / (x² + 1) ]dx = ∫ dx - ∫ [ 1 / (x² + 1) ]dx
∫ [ x² / (x² + 1) ]dx = x - arctan(x)
Reemplazamos este valor en (*):
∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - 2[ x - arctan(x) ] + C
∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - 2x + 2arctan(x) ] + C
