Respuesta:
Al ser la densidad del aire pequeña, podemos despreciar el empuje frente al peso del cuerpo. La ecuación del movimiento de un cuerpo esférico de radio R y masa m es
mdvdt=mg−0.2ρfπR2v2
Se ha tomado la dirección positiva hacia abajo
A medida que el cuerpo cae, se incrementa la velocidad, la fuerza de rozamiento crece hasta que se iguala al peso. El cuerpo se mueve con velocidad constante denominada velocidad límite vT
v2T=mg0.2ρfπR2
La ecuación del movimiento se escribe
dvdt=g(1−v2v2T)
Integramos la ecuación diferencial con la condición inicial siguiente: en el instante t=0, la velocidad del cuerpo es v0.
∫v0vdv1−v2/v2T=g∫0tdt∫v0v(121−v/vT+121+v/vT)dv=gtvT2ln1+v/vT1−v/vT∣∣vv0=gt1+v/vT1−v/vT=1+v0/vT1−v0/vTexp(2gt/vT)1+v/vT1−v/vT=exp(2gt/vT+2α)v=vTexp(gt/vT+α)−exp(−gt/vT−α)exp(gt/vT+α)+exp(−gt/vT−α)v=vTtanh(gt/vT+α)exp(2α)=1+v0/vT1−v0/vTv0vT=tanhαv=vTtanh((gtvT)+tanh−1(v0vT))
Integramos de nuevo para calcular la posición del cuerpo que cae en función del tiempo, sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0.
x=∫0tv⋅dt=∫0tvTtanh((gtvT)+tanh−1(v0vT))⋅dt=∫tanhu⋅du=lncoshu+Cx=v2Tglncosh((gtvT)+tanh−1(v0vT))cosh(tanh−1(v0vT))cosh(u+α)coshα=exp(u+α)−exp(−u−α)exp(α)−exp(−α)=exp(u)⋅exp(2α)−exp(−u)+exp(u)−exp(−u)⋅exp(−2α)exp(2α)−exp(−2α)==exp(u)1+v0/vT1−v0/vT−exp(−u)+exp(u)−exp(−u)1−v0/vT1+v0/vT1+v0/vT1−v0/vT−1v0/vT1+v0/vT=(exp(u)−exp(−u))+v0vT(exp(u)+exp(−u))2v0vT=v0vTsinh(u)+cosh(u)x=v2Tgln(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))
Aproximaciones
Desarrollo en serie de la función x(t)
x(t)≈x(0)+dxdt∣∣t=0t+12!d2xdt2∣∣t=0t2+13!d3xdt3∣∣t=0t3+14!d4xdt4∣∣t=0t4+...x=v2Tgln(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))dxdt=v2Tggv0v2Tcosh(gtvT)+gvTsinh(gtvT)v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT)=vTv0vTcosh(gtvT)+sinh(gtvT)v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT)d2xdt2=g(1−v20v2T)(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))2d3xdt3=−2g2vT(1−v20v2T)v0vTcosh(gtvT)+sinh(gtvT)(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))3d4xdt4=−2g3v2T(1−v20v2T)1−2sinh2(gtvT)−4v0vTsinh(gtvT)cosh(gtvT)−v20v2T(1+2cosh2(gtvT))(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))4x(t)≈v0t+12g(1−v20v2T)t2−g2v03v2T(1−v20v2T)t3−g312v2T(1+3v40v4T−4v20v2T)t4+...
Cuando el cuerpo se deja caer, v0=0, parte del reposo
x(t)≈12gt2−g312v2Tt4+...
Referencias
Lindemuth J. The effect o fair resistance on falling balls. Am. J. Phys. 39, July 1971, pp. 757-759
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Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García
Explicación:
