Ecuaciones Cuadráticas y Aplicaciones
Problemas pagina 80
Resuelve:
7.) x2 − 7x + 12 = 0
Factorizando:x2 − 7x + 12 = 0(x − 4)(x − 3) = 0(x − 4) = 0, (x − 3) = 0x = 4, x = 3.
15.) 2x2 + 5x + 3 = 0
Factorizando:2x2 + 5x + 3 = 0(2x + 3)(x + 1) = 0(2x + 3) = 0, (x + 1) = 02x = −3, x = −1x = −3/2, x = −1
24.) x2 − 4x + 2 = 0
No factoriza, usar fórmula cuadrática:a = 1, b = −4 y c = 2.
x = (−b +\− raizcuadrada(b2 – 4ac))/2a
x = (−(−4) +\− raizcuadrada[(−4)2 – 4(1)(2)])/2(1)
x = (4 +\− raizcuadrada(16 – 8))/2
x = (4 +\− raizcuadrada(8))/2
25.) 2x2 + 3x − 4 = 0No factoriza, usar fórmula cuadrática:a = 2, b = 3 y c = −4.
x = −b +\− raizcuadrada(b2 – 4ac)/2a
x = (−(3) +\− raizcuadrada[(3)2 – 4(2)(−4)])/2(2)
x = (−3 +\− raizcuadrada(9 + 32))/2
x = (3 +\− raizcuadrada(41))/2
Problemas pagina 87
Resuelve:
(Interés compuesto)15. Dentro de dos años, la compañía XYZ requerirá $1,102,500 para retirar algunos de sus bonos. ¿A qué tasa de interés compuesta anualmente deben invertirse $1,000,000 durante el periodo de dos años para recibir la cantidad requerida para retirar los bonos?
Solución:
Sea R la tasa de interés. A los dos años el valor de la inversión será
Valor Total a los dos años = P(1 + R)2, donde P es la cantidad inicial invertida. Sustituimos los valores y resolvemos para R,
1,102,500 = 1,000,000(1 + R)2(1,102,500)/(1,000,000) = (1,000,000(1 + R)2)/1,000,0001.1025 = (1 + R)2raizcuadrada(1.1025) = raizcuadrada(1 + R)2raizcuadrada(1.1025) = raizcuadrada(1 + R)2+/− 1.05 = 1 + R+/− 1.05 − 1 = RR = −1 +/− 1.05R = −1 − 1.05, −1 + 1.05R = −2.05, 05
Se descartada la respuesta negativa.
R = 0.05
R = 5%
(Renta de apartamentos)16. Royal Realty ha construido una unidad nueva de 60 apartamentos. Del pasado se sabe que si ellos cobran una renta mensual de $150 por apartamento, todas las viviendas se ocuparán, pero por cada incremento de $3 en la renta, es muy probable que un apartamento permanezca vacante. ¿Cuál debe ser la renta que se debe cobrar para generar los mismos $9,000 de ingreso total que se obtendrían con una renta de $150 y al mismo tiempo dejar algunos apartamentos vacantes?
Solución:
Sea n el número de incrementos de $3. Por lo tanto, $3n es el aumento en la renta por apartamento. En consecuencia, ($150 + $3n) es la renta por apartamento, n a su vez el número de apartamentos no rentados. Así que, (60 − n) es número de apartamentos rentados.
El ingreso de la renta esta dado por
Ingreso por la renta = (Renta por apartamentos)*(Numero de apartamentos rentados)
Sustituimos los valores y resolvemos para n
9,000 = (150 + 3n)(60 − n)9,000 = (150)(60) + (150)(−n) + (3n)(60) + (3n)(−n)9,000 = 9,000 −150n + 180n − 3n29,000 − 9,000 = 30n − 3n20 = 30n − 3n230n − 3n2 = 03n(10 − n) = 03n = 0, (10 − n) = 0n = 0, n = 10.
Royal Realty deberá cobrar ($150 + $3(10)) = $180 para obtener un ingreso de $9,000 y a su vez dejar 10 apartamentos vacantes.
(Inversión)21. Una suma de $100 se invirtió a un interés durante un año; después, junto con los intereses generados, se invierte durante un segundo año al doble de la tasa de interés. Si la suma total lograda es $112.32, ¿cuáles son las dos tasas de interés?
Solución:
Sea R la tasa de interés. La tasa de interés del segundo año será 2R. A los dos años el valor de la inversión será
Valor Total a los dos años = P(1 + R) (1 + 2R), donde P es la cantidad inicial invertida. Sustituimos los valores y resolvemos para R,
112.32 = 100(1 + R) (1 + 2R)112.32/100 = 100(1 + R) (1 + 2R)/1001.1232 = (1 + R) (1 + 2R)1.1232 = (1)(1) + (1)(2R) + (R)(1) + (R)(2R)1.1232 = 1 + 2R + R + 2R21.1232 = 1 + 3R + 2R22R2 + 3R + 1 = 1.12322R2 + 3R + 1 − 1.1232 = 02R2 + 3R − 0.1232 = 0
Utilizamos la fórmula cuadrática
a = 2, b = 3 y c = −0.1232.
R = (−b +\− raizcuadrada(b2 – 4ac))/2a
R = (−(3) +\− raizcuadrada[(3)2 – 4(2)( −0.1232)])/2(2)
R = (−3 +\− raizcuadrada(9 + 0.9856))/4
R = (−3 +\− raizcuadrada(9.9856))/4
R = (−3 +\− 3.16)/4
R = (−3 − 3.16)/4, (−3 + 3.16)/4
Descartamos la solución negativa
R = (−3 + 3.16)/4
R = (0.16)/4
R = 0.04
R = 4%
Las tasas de interés son 4% y 8% respectivamente.
