Propiedades de las relaciones
Las
relaciones se pueden clasificar de acuerdo al tipo de asociación que
hay en sus elementos como: uno-a-uno 1–1, uno-a-mucho 1-M,
muchos-a-uno M-1 o muchos-a-muchos M-M. Recordemos que una relación es
un conjunto de pares ordenados.
Definición: Una
relación R de A a B es:Muchos-a-uno, M-1 si existen dos pares con el
mismo segundo elemento, esto es existen (x,y), (z,y) distintas en la
relación, con símbolos (∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ A) ((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R
^ x ≠ z)
Propiedades
de las relaciones.Uno-a-muchos ‘1-M’ si existen dos pares con el mismo
primer elemento, esto es existen (x,y), (x,z) distintas en la relación,
con símbolos (∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ B) ((x,y) ∈ R ^ (x,z) ∈ R ^ y ≠ z)
Propiedades
de las relaciones.Muchos-a-muchos ‘M-M’ si es muchos-a-uno y
uno-a-muchos. sea que hay al menos dos pares con el mismo primer
elemento y también hay dos pares con el mismo segundo elemento.O sea que
cumple las dos definiciones anteriores.
Propiedades
de las relaciones.Uno-a-uno ‘1–1′ si no es muchos-a-uno ni
uno-a-muchos, o sea que no hay dos pares con el mismo primer elemento y
no hay dos pares con el mismo segundo elemento.Esto significa que cumple
las dos condiciones siguientes (∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ B)((x,y) ∈ R ^
(x,z) isin; R ⇒ y = z) (∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ A)((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R
⇒ x = z)
Dinámica
grupal.Junto con el compañero de al lado ejemplifiquen en su cuaderno
el cómo sería este tipo de relaciones en la vida real. Enfoque sobre
todo en datos que un computador pudiera aceptar, como por ejemplo: los
datos de un alumno en relación con un maestro, salón, etc.
Relación Reflexiva y Irreflexiva
Teorema:
Una relación R en un conjunto es reflexiva si y solo si la diagonal
principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos. De
la misma forma es Irreflexiva si tiene solamente ceros.
Una relación A es:
Reflexiva: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:
Irreflexiva: Si ningún elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:
Relación Simétrica, Asimetrica, Antisimetrica Y Transitiva
Teorema: Una relación R es simétrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.
Simetrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento,el segundo tambien se relaciona con el primero, con simbolos: (x ,y) ∈ R ⇒ (y ,x) ∈ R
Asimetrica: Una
relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b
Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con
ambos a R b y b R a.
Teorema:
Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos
opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1;
esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.
Antisimétrica:
Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento
diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos: ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y)
La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.
Transitiva: Si
cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el
segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta
relacionado con el tercero:
Ejemplo para todas las relaciones
Cuando
tenemos la matriz de una relación es muy fácil verificar si es
reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica,
Transitiva:
Ejemplo.- Sea A = { a, b, c, d, e }
R1 = { (a,a), (b,b), (a,c), (b,c), (c,a), (d,d) }
R2 = { (a,a), (a,d), (c,b), (d,a), (c,e), (e,e) }
R3 = { (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,c), (b,a) }
R4 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c), (b,e), (c,e), (b,d), (d,a), (e,e) }
R5 = { (a,c), (a,e), (e,c), (b,c) }
R6 = { ( (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,e), (b,c), (c,b), (e,a) }
R7 = { (a,b), (b,d), (c,a), (d,e), (e,c), (b,c), (b,a) }
Si observamos la figura podemos darnos cuenta que R3 y R6 son Reflexivas, y también podemos ver que R5 y R7 son Irreflexivas.
De las relaciones anteriores R6 es simétrica, R3 y R5 son antisimetricas; R3, R4 y R5 son Transitivas.
