Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:
x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
no es igual
< menor que
> mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
x + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ej. 3 < 4, 4 > 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
1 < 6
1 + 5 < 6 + 5
¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.
Otro ejemplo:
2 < 6
2 + -9 < 6 + -9
Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo.
Otro ejemplo con resta:
7 > 4
7 - 3 > 4 – 3
La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:
2 < 8
2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto
2 + 3 < 8 + 3
5 < 11
La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.
Multiplicación con números positivos:
3 < 7
3 * 6 < 7 * 6
La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados.
Multiplicación con números negativos:
4 > 1
4 · -2 > 1 · -2
-8 > -2 Falso
Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2
Ahora, la desigualdad es cierta.
División con positivos:
3 < 9
3/3 < 9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
1 < 3
La desigualdad es cierta.
División con negativos:
4 < 12
4/-2 < 12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
-2 < -6 falso
Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.
-2 > -6
Ahora la desigualdad es cierta.
En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.
Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.
Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5
x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.]
5 + 3 < 6 [ Simplificar]
8 < 6
¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.
Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 11
11 - 3 8
8 8
¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir que x = 11 es una solución.
Ejemplos:
Resolver la inecuación.
Ejemplo 1:
x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuación
x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.
Encontrar los valores de x.
x < 3
Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito.
Ejemplo 2:
x - 9 8
x 9 + 8
x 17
x es mayor o igual a 17 es la solución.
Ejemplo 3:
3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3,
3x/3 < 12/3 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
x < 4
Entonces, x es menor que 4 es la solución.
Ejemplo 4:
-2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se
-2x/-2 -6/-2 divide ambos lados de la inecuación por -2.
x 3
Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.
Ejemplo 5:
3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes.
3x + -2x 1 + 4 Resolver.
x 5
Ejemplo 6:
4x + 9 6x - 9
4x + 9 6x + - 9
4x + -6x -9 + -9
-2x/-2 -18/-2
x 9
Resolviendo Desigualdades
Ejemplo: Resolver x - 3 > 2
x - 3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.
x + -3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < , , , .
