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Introducción
El postulado de congruencia LLL es una de las formas con las cuales puedes probar que dos triángulos son congruentes sin necesidad de medir seis ángulos y seis lados. En las siguientes dos lecciones se explorará otras formas con las cuales tú puedes probar la congruencia de triángulos usando una combinación de lados y triángulos. Es útil conocer todas las diferentes formas con que puedes probar la congruencia de triángulos o descartarla si es necesario.
Congruencia ALA
Una de las forma con la que cuentas para probar la congruencia entre dos triángulos es el Postulado de congruencia ALA. La “L” representa al “lado”, de la misma forma que en el teorema LLL. La “A” abrevia la palabra “ángulo” y el orden en que estas letras aparasen en el nombre de el postulado son cruciales para el postulado. Para usar el postulada ALA en la demostración de la congruencia de dos triángulos, tú debes de identificar dos ángulos y el lado entre ellos. Si los lados y ángulos correspondientes son congruentes, entonces los dos triángulos son congruentes. En lenguaje formal, el postulado ALA es el siguiente:
El postulado de congruencia Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): Si dos ángulos y el lado incluido por ellos en un triángulo son congruentes con los ángulos y el lado incluido en otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
Para probar este postulado, tú puedes utilizar una regla y un transportador para dibujar dos triángulos congruentes. Para este ejercicio empieza por dibujar un segmento de línea que será el lado de tu primer triángulo y escoge dos ángulos cuya suma sea menor a los
180∘.
Dibuja un ángulo en un extremo del segmento de recta y dibuja el segundo ángulo en el otro extremo. Ahora, repite el proceso en otra pieza de papel, dibujando otro segmento de recta con la misma longitud y con las mismas medidas de los ángulos. Lo que vas a descubrir es que hay existe sólo un triángulo que podrías dibujar, entonces los triángulos son congruentes.
También nota que al escoger dos de los ángulos del triángulo, tú determinas la medida del tercer ángulo usando el teorema de la suma del triángulo. Así, en realidad, tú has definido todos los ángulos del triángulo, y al definir la longitud de uno de sus lados, también defines su escala. Entonces, sin importar nada más, si tú tienes dos ángulos y un lado entre ellos, tu has descrito el triángulo completo.
Ejemplo 1
¿Qué información necesitarías para probar que estos dos triángulos son congruentes usando el postulado ALA?
A. Le medida de los ángulos que hacen falta.
B. Las medidas de los lados
AB¯¯¯¯¯¯¯¯
y
BC¯¯¯¯¯¯¯¯
C. Las medidas de los lados
BC¯¯¯¯¯¯¯¯
y
EF¯¯¯¯¯¯¯¯
D. Las medidas de los lados
AC¯¯¯¯¯¯¯¯
y
DF¯¯¯¯¯¯¯¯
Si tú piensas usar el postulado ALA para probar congruencia, tienes que tener dos pares de ángulos congruentes y el lado incluido, el lado entre los los pares de ángulos congruentes. El lado incluido entre los dos ángulos marcados en
△ABC
es el lado
BC¯¯¯¯¯¯¯¯
. El lado entre los dos ángulos marcado en
△DEF
es el lado
EF¯¯¯¯¯¯¯¯.
Tú necesitarías las medidas de los lados
BC¯¯¯¯¯¯¯¯
y
EF¯¯¯¯¯¯¯¯
para probar la congruencia. Entonces, la respuesta correcta es C.
Congruencia AAL
Otra forma con la que puedes probar la congruencia entre dos triángulos es usando dos ángulos y el lado que no incluido entre los ángulos.
Teorema de congruencia Ángulo-Ángulo-Lado (AAL): Si dos ángulos y un lado que no este entre ellos en un triángulo son congruentes a dos ángulos correspondientes y a un lado no incluido entre ellos en otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Este es un teorema por que puede ser demostrado. Primero, haremos un ejemplo para explorar por que el teorema es verdadero, después procederemos a probarlo formalmente. Al igual que el postulado ALA, el teorema AAL usa dos ángulos y un lado para probar la congruencia. Sin embargo, el orden de las letras (y los ángulos y lados que ellos representan) son diferentes.
El teorema AAL es equivalente al postulado ALA por que cuando conoces dos ángulos en un triángulo, también conoces el tercer ángulo. El par de lados congruentes en los triángulos determinarán el tamaño de los dos triángulos.
Ejemplo 2
¿Qué información necesitarías para probar, usando el teorema AAL, que estos dos triángulos son congruentes?
A. Las medidas de los lados
TW¯¯¯¯¯¯¯¯¯
y
XZ¯¯¯¯¯¯¯¯
B. Las medidas de los lados
VW¯¯¯¯¯¯¯¯¯
y
YZ¯¯¯¯¯¯¯
Si usaras el teorema AAL para probar la congruencia, tú necesitas conocer que los pares de ángulos son congruentes y que el par de lados adyacentes a uno de los ángulos son también congruentes. Tú ya tienes un lado y su ángulo adyacente, pero aún necesitas conocer el otro ángulo. Este ángulo tiene que ser uno que no este conectado al lado conocido, por el contrario tiene que ser adyacente a él. Por ello, tienes que encontrar las medidas de
∠TWV
y
∠XZY
para probar la congruencia, entonces, la respuesta correcta es D.
