tema ecuaciones diferenciales:
Solución a tu problema:
Sea:...................P: Población de la comunidad en el tiempo "t".
..........................P(o): Población inicial, en t=0
..........................t: Tiempo, en años
.........................dP / dt : rapidez con la que aumenta la población.
..........................k > 0 : Constante de proporcionalidad.
De tal manera que:
...... dp / dt = k*p <=> dp / p = k*dt <=< LnP = k*t + C(1) <=> P = Ce^(k*t) ..(1)
..... P(o) = P(0) ....(2)
Sustituyendo (2) en (1), se obtiene el valor de la constante c:
=> P(o) = ce^(k(0)) <=> c=P(o) .......(3)
=> P = P(o)*e^(kt) ......{(3) en (1)}......(4)
....t = 5 .........|==> La población se duplicó en cinco años.....(5)
....P= 2P(o)....|
=> 2P(o) = P(o)e^(5k) .......{(3) en (4)}
=> 2 = e^(5k) <=> 5k 0 Ln2 <=> k = 0.13863.......(6)
La función que dá: la población en función del tiempo "t", se obtiene sustituyendo (6) en (4):
..... P = P(o)*e^(0.13863*t) <=> 3 = e^(0.13863*t) <=> 0.13863t = Ln (3) <=> ...
... t = 1.09861 / 0.13863 <=> t = 7.9
Cuando la población se cuadruplica ...(7) queda:
.... 4P(o) = P(o)*e^(0.13863*t) <=> 4 = e ^(0.13863*t) <=> 0.13863*t = Ln (4) <=>..
.. t = 1.38629 / 0.13863 <=> t = 10.
Rta: la población se triplicara, aproximadamente a los 7,9 años; y se cuadruplicara a los 10 años.
espero haberte ayudado. Suerte.
