Saberes previos: Recuerda que:
[tex] \int\limits{x^ndx =x^{n+1}/(n+1)[/tex]
A manera de nota:
[tex] \int\limits{dx} = x
\ \
Demostracion
\ \
\int\limits{dx} = \int\limits{1dx} = \int\limts x^0 dx = x^{0+1}/(0+1) = x[/tex]
#Solucion del ejercicio:
[tex]\int{(x^2+x+1)^2 dx
\ \
Por productos notables, sabemos que:
\ \
(a+b+c) ^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab + ac + bc)
\ \
En base a esto desarrollamos:
\ \
\int{[x^4 +x^2 +1 + 2(x^3 + x^2 +x)] dx
\int(x^4+x^2 +1+2x^3+2x^2+2x)dx
\int (x^4 +2x^3+3x^2+2x+1) dx
\ \
Todo esto es equivalente a decir:
\int{x^4dx+\int {2x^3dx+\int{3x^2dx + \int2xdx + \int1dx
[/tex]
[tex]x^5/5 + 2(x^4/4) +3x^3/3 + 2x^2/2+x
\ \
sumamos las fracciones:
( 12x^5 + 30x^4 + 60x^3 + 60x^2 +60x)/60
\ \ sacamos la sexta parte a todo y nos queda:
\ \
(2x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 10x) / 10
Y esa seria nuestra respuesta[/tex]