Vamos a tomar como origen de coordenadas, el borde del escalón en el que
la pelota abandona la escalera, y como ejes OX y OY, la horizontal y
vertical, respectivamente, que pasan por dicho punto.
Las ecuaciones del movimiento de la pelota son:
A lo largo del eje OX,
x = v₀ t
ya que el movimiento es uniforme, puesto que ninguna fuerza se opone a
su movimiento, suponiendo que no se tiene en cuenta el rozamiento del
aire.
A lo largo del eje OY,
y = (1/2) gt²
despejando t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda se obtiene,
y =gx²/2v₀²
Y ahora viene la explicación más complicada, no por su dificultad, sino porque sería más fácil con una figura.
Vamos a ver:
Puesto que los escalones tienen igual anchura que altura, en el punto
del escalón en que golpee la pelota habrá descendido una distancia igual
a un múltiplo de 18 cm, y la distancia horizontal será asimismo
igual o menor que ese múltiplo, porque la pelota puede golpear en el
centro del escalón, o justo en el borde, o por el contrario más próximo
al tramo vertical que le une con el peldaño anterior.
Podría ocurrir que pasase justo rozando el borde y en ese caso los dos
múltiplos serían iguales. pero el problema habla de "tocar" en un
escalón.
De modo que como caso extremo
y = 0,18 n
x = 0,18 n
siendo n un número natural.
Así que
x = y
Sustituyendo en
y =gx²/2v₀²
x = gx²/2v₀²
simplificando y despejando x
x = 2*(1,08)²/9,8 = 0,238 m = 23,8 cm.
y como cada escalón tiene un anchura de 18 cm, esto significa que la
pelota golpearía en el segundo peldaño a 5,8 cm del tramo vertical que
lo une con el primer peldaño, o lo que es igual, a 12,2 cm del borde de
dicho escalón.
PERO
Todo este cálculo se ha hecho en el supuesto de que x e y fueran iguales
que, evidentemente, no lo son, puesto que si la pelota golpea en el
segundo escalón para un valor de x = 23,8 cm
resulta que
x = 23,8 cm
y = 36 cm
De modo que este método es una primera aproximación que nos permite
saber que la pelota golpea en el segundo escalón. Para conocer
exactamente el punto del impacto, basta despejar x en la ecuación
y =gx²/2v₀²
x = √ 2v₀²y/g
y sustituyendo y = 0,36 m se obtiene
x = 0,292 m = 29,2 cm
Es decir a 11,2 cm del borde del segundo escalón.
La posición exacta del punto en que golpea la pelota es el punto P de coordenadas
P(29,2 , 36)
bien entendido que se considera en este caso el sentido positivo del eje OY hacia abajo.
_________
