Se denotará por Sn a la suma a1 + a2 + ... + an Se tiene entonces: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1 + an Invirtiendo el orden, Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... + a3 + a2 + a1 y sumando, 2Sn = (a1 + a2) + (a2 + an - 1) + ... + (an - 1 + a2) + (an + a1) Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que: a1 + an = a2 + an - 1 = a3 + an - 2 = ... = an + a1 Por tanto, 2 · Sn = n(a1 + an), y despejando: Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cualesquiera n términos consecutivos. Para sumar, por ejemplo, a5 + a6 ... + a83, es necesario constatar que hay(83 - 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros). La suma es:
