por sustitucion no funciona voy a resolverla por fracciones parciales:
5x - 2 5x - 2 A B
---------- = ------------- = ------- + --------
x^2 - 4 (x+2)(x-2) x+2 x-2
entonces la ecuacion para encontrar A y B:
5x - 2 = A(x-2) + B(x+2)
5x - 2 = Ax - 2A + Bx + 2B
5x - 2 = (A+B)x - 2(A-B)
de donde deducimos que>
A+B=5 y
A-B = 1 reduzcamos y solucionemos
---------
2A = 6
A = 3
A-B=1
3-B=1
B=2
listo entonces la fracción inicial se puede reexcribir en las siguiente fracciones parciales:
3 2
------- + --------
x+2 x-2
y tenemos que hallar la integral de esas fracciones:
3 2
Integral de ------- + -------- dx
x+2 x-2
ambas son triviales pues son el logaritmo natural del denominador:
3 2
Integral de ------- + -------- dx = 3 ln(x+2) + 2 ln(x-2) + C
x+2 x-2
que es el resultado
tambien usando propiedades de logaritmos se podría expresar como:
ln[(x+2)³(x-2)²] + C
y usando porducto notables:
ln[(x²-4)²(x+2)] + C para que quede expresado en un factor similar a la función inicial.
eso es, échale una mirada y trata de seguir el procedimiento y luego hacerlo tu mismo para que aprendas.
