Determina los valores posibles que puede tomar la pendiente de la recta de ecuacion: Y=a.X+raiz cuadrada de 5, para que su grafica intersecte solo en un punto a la circunferencia de ecuacion: X al cuadrado+Y al cuadrado=1
Encuentra los puntos de interseccion y grafica aproximadamente
Para resolverlo debes tener en cuenta lo siguiente:
para que la recta sólo toque en un punto al círculo entonces debe ser una recta tangente al círculo.
Por definición una recta es tangente a un círculo si es perpendicular al radio de esa circunferencia.
Dos rectas son perpendicualres si sus pendientes son opuestas y recírpocas (o sea si la una es m la otra es -1/m)
Como el círculo es [tex]x^2 + y^2=1[/tex] entonces está centrado en el origen (0,0)
las ecuaciones de las rectas de sus radios tienen por intrercepto (0,0)
o sea son de la forma:
y=mx donde m es la pendiente.
Dijimos que M debe ser la inversa recirpoca de la pendiente de la recta solicitada, o sea que m=-1/a
entonces las rectas son:
[tex]y=ax+\sqrt{5}[/tex]
[tex]y=-\frac{1}{a}x[/tex]
ahora, las rectas deben intersectar al círculo, esa sería una tercera ecuación:
[tex]x^2 + y^2=1[/tex] despejando y
[tex]y=\sqrt{1-x^2}[/tex]
reemplacemos esta ultima valor de y en la recta del radio:
[tex]\sqrt{1-x^2}=-\frac{1}{a}x[/tex]
elevemos al cuadrado
[tex]1-x^2=\frac{1}{a^2}x^2[/tex]
[tex]a^2-a^2x^2=x^2[/tex]
[tex]a^2-a^2x^2-x^2=0[/tex]
[tex]a^2-x^2(a^2+1)=0[/tex]
[tex]x^2=a^2/(a^2+1)[/tex]
[tex]x=a/\sqrt{(a^2+1)}[/tex]
reeplaza este valor de x en la primera ecuación y te quedará una ecuación para a, que uedes resolver.
te quedaría algo así inicialmente:
[tex]-\frac{1}{a}a/\sqrt{(a^2+1)}=a(a/\sqrt{(a^2+1)})+\sqrt{5}[/tex]
que tienes que resolver para a
comencemos:
[tex]-\frac{1}{\sqrt{(a^2+1)}}=\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+1)}}+\sqrt{5}[/tex]
[tex]-\sqrt{5}=\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+1)}}+\frac{1}{\sqrt{(a^2+1)}}[/tex]
[tex]-\sqrt{5}=\frac{a^2+1}{\sqrt{(a^2+1)}}[/tex]
[tex]-\sqrt{5}=\sqrt{(a^2+1)}[/tex]
[tex]5=a^2+1[/tex]
[tex]a^2=4[/tex]
[tex]a=2[/tex] o [tex]a=-2[/tex]
ahi la tienes, la pendiente de la recta tangente a la circunferencia dada puede ser 2 o -2
o sea
[tex]y=2x+\sqrt{5}[/tex] o [tex]y=-2x+\sqrt{5}[/tex]
